没想到跨年的方式是尝试解决一个微分方程的问题,本来这个方程看起来非常人畜无害,结果一上手才知道有多难玩得转。有这样一个系统

其中 $k,b$ 是参数。这个方程描述的是一个具有恒定的外力矩和与速度成正比的摆的运动的趋势。这样一个系统,不出意外的具有周期解,而且有可能会在一些参数下“停下来”,也就是这个系统的两个吸引子。然而,周期解和稳定解究竟吸引盆有多大,是一个很难处理的问题。

最终讨论了好久,也就只能做出来一个数值解。一开始我们低估了问题的难度,想要直接用 Lyapunov 函数去估计吸引盆,然而 Lasalle 定理要求对正不变集有一定的估计,这个问题一样是很困难的。也就是说我们的努力以失败告终。请教了一个学理论力学的同学,他也觉得,定性判断比较简单而且符合直觉,如果想要定量地确定哪个参数会有多大的吸引效应,真的非常困难 – 一般就要求助于 MatLab。

最终这个问题,我们只能打好多个问号。也许是一个混沌效应?也许是可以化为偏微分方程去解决的?貌似我不能有一个好的解释。

附论文